D'abord, la bonne question : que comptez-vous ?
Le choix d'une loi de probabilité dépend presque toujours de la nature de la question posée, pas des données elles-mêmes. Posez-vous ces trois questions dans l'ordre :
- Comptez-vous un nombre de succès, ou mesurez-vous une grandeur continue ? Un nombre de succès (pile, défaut, clients) relève des lois discrètes (binomiale, Poisson, géométrique, hypergéométrique) ; une mesure (taille, durée, erreur) relève des lois continues (normale, exponentielle, uniforme).
- Le nombre d'essais est-il fixé à l'avance, ou observez-vous un flux dans le temps ? Un nombre d'essais fixé pointe vers la binomiale ; un flux d'événements dans le temps ou l'espace pointe vers Poisson.
- Le tirage se fait-il avec ou sans remise ? Avec remise (ou population très grande), la binomiale s'applique ; sans remise dans une petite population, c'est l'hypergéométrique.
Tableau de décision
| Situation | Loi | Outil |
|---|---|---|
| Une mesure continue qui se répartit en cloche autour d'une moyenne (taille, note, erreur de mesure) | Normale | Loi normale |
| Nombre de succès sur n essais indépendants à probabilité fixe (ex. 10 lancers de dé) | Binomiale | Loi binomiale |
| Nombre d'événements rares dans un intervalle fixe (appels par heure, défauts par lot) | Poisson | Loi de Poisson |
| Temps d'attente avant un événement (durée de vie d'un composant, délai entre deux appels) | Exponentielle | Loi exponentielle |
| Nombre d'essais avant le premier succès (combien de lancers avant un 6 ?) | Géométrique | Loi géométrique |
| Tirage sans remise dans une population finie (cartes, échantillon de contrôle qualité) | Hypergéométrique | Loi hypergéométrique |
| Valeur également probable entre deux bornes, sans préférence | Uniforme | Loi uniforme |
| Estimation à dire d'expert avec un minimum, un maximum et une valeur la plus probable (gestion de projet, PERT) | Triangulaire | Loi triangulaire |
| Intervalle de confiance ou test sur un petit échantillon (n < 30), écart-type de la population inconnu | Student (t) | Loi de Student |
Normale ou Student : laquelle pour un intervalle de confiance ?
C'est la confusion la plus fréquente. Utilisez la loi normale quand l'échantillon est grand (généralement n ≥ 30) ou que l'écart-type de la population est connu. Utilisez la loi de Student pour un petit échantillon dont vous n'estimez l'écart-type qu'à partir des données elles-mêmes — l'intervalle obtenu est alors plus large, pour refléter cette incertitude supplémentaire. Pour déterminer la taille d'échantillon nécessaire en amont, voyez la calculatrice de taille d'échantillon ; pour un intervalle déjà calculé, l'intervalle de confiance.
Binomiale, Poisson ou hypergéométrique : le piège du tirage
Ces trois lois comptent toutes un nombre de « succès », mais dans des contextes différents. La binomiale suppose un nombre d'essais fixé et une probabilité de succès constante (tirage avec remise, ou population très grande devant l'échantillon). L'hypergéométrique s'applique quand le tirage se fait sans remise dans une population de taille limitée : chaque tirage change la probabilité du suivant (typiquement, une main de cartes). La loi de Poisson, elle, ne compte pas des essais mais des occurrences dans un intervalle (temps, surface) : elle est souvent utilisée comme approximation de la binomiale quand n est grand et p très petit.
Au-delà de la loi : mesurer la liaison entre deux variables
Ces lois décrivent une variable isolée. Pour étudier la relation entre deux variables, d'autres outils prennent le relais : la covariance et la corrélation mesurent si elles varient ensemble, la régression linéaire en tire une droite prédictive, et le test du khi-deux teste l'indépendance de deux variables qualitatives à partir d'un tableau croisé. Pour résumer une seule série de données (avant même de parler de loi), la moyenne et l'écart-type, les quartiles et le coefficient de variation donnent les premiers repères.
En pratique
Si vous hésitez encore, commencez par décrire votre situation en une phrase : « je compte le nombre de X parmi Y essais » oriente vers une loi discrète (binomiale, Poisson, géométrique, hypergéométrique selon le contexte du tirage) ; « je mesure une grandeur qui varie autour d'une valeur centrale » oriente vers la loi normale ; « j'estime une durée avant un événement » oriente vers l'exponentielle. Chaque calculatrice de la liste ci-dessus rappelle sa propre formule et ses conditions d'application dans sa page dédiée.