Z = (x − μ) / σ. P(X ≤ x) = Φ(Z), fonction de répartition de la loi normale centrée réduite. Exemple : x = 70, μ = 60, σ = 10 → Z = 1 → P(X ≤ 70) ≈ 84,13 %.
De la courbe de Gauss à une probabilité concrète
La loi normale (ou loi de Gauss) modélise de nombreux phénomènes naturels et statistiques : tailles, notes d'examen, erreurs de mesure, résultats de sondages. Sa courbe en cloche, centrée sur la moyenne μ et dont la largeur dépend de l'écart-type σ, ne permet pas de calculer directement une probabilité par une formule simple — c'est le rôle de la fonction de répartition Φ, calculée ici via une approximation numérique précise de la fonction erreur (erf), fiable à 1,5 × 10⁻⁷ près. Le score Z standardise d'abord la valeur x en la ramenant à la loi normale centrée réduite N(0, 1), ce qui permet d'utiliser une seule fonction Φ pour n'importe quelle moyenne et n'importe quel écart-type.
Comment utiliser la calculatrice ?
- Indiquez la valeur x dont vous voulez connaître la probabilité cumulée.
- Indiquez la moyenne μ et l'écart-type σ de la distribution étudiée.
- Lisez le score Z ainsi que les probabilités P(X ≤ x) et P(X > x).
Valeurs Z de référence
| Score Z | P(X ≤ x) | Usage courant |
|---|---|---|
| 1,645 | 95,0 % | Seuil unilatéral à 5 % |
| 1,960 | 97,5 % | Intervalle de confiance à 95 % (bilatéral) |
| 2,326 | 99,0 % | Seuil unilatéral à 1 % |
| 2,576 | 99,5 % | Intervalle de confiance à 99 % (bilatéral) |
Cas d'usage
- Cours de statistique : remplacer une table de la loi normale par un calcul direct et précis.
- Interpréter un score standardisé (résultat de test, mesure scientifique) par rapport à une population.
- Construire un intervalle de confiance en retrouvant les valeurs Z associées à un seuil de probabilité donné.
Erreurs fréquentes
- Oublier de standardiser avant de lire une table : le score Z ramène toujours la valeur à la loi centrée réduite N(0, 1).
- Confondre probabilité cumulée et densité : P(X ≤ x) est une aire sous la courbe, pas la hauteur de la courbe en x.
- Confondre seuil unilatéral et bilatéral : un intervalle de confiance à 95 % bilatéral utilise Z = 1,96 (2,5 % de chaque côté), pas Z = 1,645 (seuil à 5 % d'un seul côté).
Compatibilité
Fonctionne sur mobile, tablette et ordinateur, sans inscription. Pour la moyenne et l'écart-type d'une série de données, voyez la calculatrice de moyenne.