Avec une probabilité de succès de 20 % à chaque essai, la probabilité que le premier succès survienne exactement au 3e essai est de 12,8 % ; en moyenne, il faut 5 essais pour obtenir un succès.
Qu'est-ce que la loi géométrique ?
La loi géométrique modélise le nombre d'essais indépendants nécessaires pour obtenir le premier succès, chaque essai ayant la même probabilité p de réussir. P(X = k) = (1 − p)k−1 × p : il faut échouer k − 1 fois puis réussir. L'espérance vaut 1 ÷ p (le nombre moyen d'essais) et la variance (1 − p) ÷ p².
Comment l'utiliser ?
- Indiquez la probabilité de succès p à chaque essai.
- Indiquez k, le rang de l'essai qui vous intéresse.
- Lisez P(X = k), P(X ≤ k) et le nombre moyen d'essais.
Exemples
| Situation | p |
|---|---|
| Lancer de dé (obtenir un 6) | 1/6 ≈ 16,7 % |
| Pile ou face (obtenir face) | 50 % |
| Tirage rare (1 chance sur 100) | 1 % |
Plus p est petit, plus le nombre moyen d'essais 1/p est grand.
Cas d'usage
- Nombre de lancers avant un 6 au dé.
- Nombre de tentatives avant un succès (jeu, contrôle qualité).
- Exercices de probabilités sur les répétitions d'épreuves.
Erreurs fréquentes
- Confondre avec la loi binomiale (nombre de succès sur n essais fixés), différente de la loi géométrique (rang du premier succès).
- Oublier l'exposant k − 1, pas k, sur (1 − p).
- Utiliser un p supérieur à 1 ou négatif.
Compatibilité
Fonctionne sur mobile, tablette et ordinateur, sans inscription, tous les calculs s'exécutant localement dans votre navigateur. Pour un nombre fixe d'essais, voyez la loi binomiale ; pour un temps d'attente continu, la loi exponentielle, son équivalent en temps continu.