Pour n = 10 épreuves et une probabilité de succès p = 50 %, la probabilité d'obtenir exactement 5 succès est de 24,61 %, et la probabilité d'en obtenir 5 ou moins est de 62,30 %.
Qu'est-ce que la loi binomiale ?
La loi binomiale modélise le nombre de succès obtenus en répétant n fois une même expérience aléatoire à deux issues (succès/échec), de façon indépendante, avec une probabilité de succès p identique à chaque répétition. C'est l'une des lois de probabilité discrètes les plus utilisées, par exemple pour modéliser un nombre de pièces défectueuses, de réponses correctes à un QCM, ou de faces obtenues en lançant une pièce plusieurs fois.
Comment l'utiliser ?
- Renseignez n, le nombre d'épreuves répétées.
- Renseignez k, le nombre de succès dont vous cherchez la probabilité.
- Renseignez p, la probabilité de succès à chaque épreuve, en pourcentage.
- Lisez la probabilité exacte P(X = k), la probabilité cumulée P(X ≤ k), l'espérance et l'écart-type.
Les formules
| Indicateur | Formule |
|---|---|
| Probabilité exacte P(X = k) | C(n,k) × pk × (1−p)n−k |
| Probabilité cumulée P(X ≤ k) | Somme des P(X = i) pour i de 0 à k |
| Espérance E(X) | n × p |
| Variance V(X) | n × p × (1−p) |
Cas d'usage
- Exercices de probabilités au lycée et dans le supérieur.
- Contrôle qualité : probabilité d'un nombre donné de pièces défectueuses dans un lot.
- Sondages et tests : probabilité d'obtenir un nombre donné de réponses positives sur un échantillon.
Erreurs fréquentes
- Confondre P(X = k) et P(X ≤ k) : la première est une probabilité ponctuelle, la seconde une probabilité cumulée.
- Utiliser la loi binomiale sans épreuves indépendantes : si le tirage se fait sans remise dans une population finie, la loi hypergéométrique est plus appropriée.
- Oublier de convertir p en proportion : p doit être compris entre 0 et 1 dans la formule (0 % à 100 % dans cet outil).
Compatibilité
Fonctionne sur mobile, tablette et ordinateur, sans inscription, tous les calculs s'exécutant localement dans votre navigateur. Pour le dénombrement C(n,k), voyez la calculatrice de combinaisons.