Avec une prévalence de 1 %, une sensibilité de 90 % et 9 % de faux positifs, un test positif ne correspond à un vrai cas que dans 9,17 % des situations : sur 10 000 personnes, 90 vrais positifs contre 891 faux positifs.
Que dit le théorème de Bayes ?
Le théorème de Bayes permet de retourner une probabilité conditionnelle : P(A | B) = P(B | A) × P(A) ÷ P(B), avec P(B) = P(B | A) × P(A) + P(B | non A) × (1 − P(A)). Il montre qu'un test très fiable peut donner surtout des faux positifs quand l'événement recherché est rare — d'où l'intérêt de raisonner en fréquences naturelles (« sur 10 000 personnes… »).
Comment l'utiliser ?
- Indiquez P(A) : la probabilité a priori de l'événement.
- Renseignez la sensibilité P(B | A) et le taux de faux positifs P(B | non A).
- Lisez P(A | B) et la répartition sur 10 000 cas.
Cas d'usage
- Interpréter un test de dépistage (valeur prédictive positive).
- Exercices de probabilités au lycée et en licence.
- Filtres antispam et raisonnement bayésien.
Erreurs fréquentes
- Confondre P(A | B) et P(B | A) : c'est l'erreur classique du procureur.
- Ignorer la prévalence (probabilité a priori).
- Confondre taux de faux positifs et 1 − spécificité : ils sont égaux ici, mais pas à la valeur prédictive.
Compatibilité
Fonctionne sur mobile, tablette et ordinateur, sans inscription, tous les calculs s'exécutant localement dans votre navigateur. Pour d'autres lois de probabilité, voyez la loi binomiale et la loi normale.