Pour u0 = 1, u(n+1) = 0,5 × u(n) + 3, le terme u(5) = 5,84375 ; la suite converge vers son point fixe L = 6.
Comment résoudre une suite récurrente affine ?
Une suite définie par u(n+1) = a × u(n) + b admet une forme explicite qui évite de calculer terme après terme. Si a ≠ 1, elle admet un point fixe L = b ÷ (1 − a) (la valeur telle que si u(n) = L, alors u(n+1) = L aussi), et la formule explicite est u(n) = an × (u0 − L) + L. Si |a| < 1, la suite converge vers L ; si |a| > 1, elle diverge. Si a = 1, c'est une suite arithmétique classique : u(n) = u0 + n × b.
Comment l'utiliser ?
- Saisissez le premier terme u0.
- Indiquez les coefficients a et b de la récurrence.
- Indiquez le rang n du terme cherché.
- Lisez u(n), les premiers termes, le point fixe et la convergence.
Cas d'usage
- Exercices de suites au lycée (suites arithmético-géométriques).
- Modéliser une évolution avec une part fixe et une part proportionnelle (ex. remboursement, population).
- Vérifier la convergence d'une suite récurrente.
Erreurs fréquentes
- Confondre point fixe et limite : le point fixe n'est une limite que si |a| < 1.
- Oublier le cas a = 1, qui n'a pas de point fixe défini (division par zéro évitée par un traitement séparé).
- Se tromper dans l'ordre des opérations : a s'applique avant l'ajout de b.
Compatibilité
Fonctionne sur mobile, tablette et ordinateur, sans inscription, tous les calculs s'exécutant localement dans votre navigateur. Pour une suite arithmétique ou géométrique simple, voyez la calculatrice de suite numérique ; pour l'intérêt composé, comparable à a > 1 sans terme constant, les intérêts composés.