Pour z = 3 + 4i, le module est |z| = 5 et l'argument est 53,13° (soit environ 0,9273 radian).
Qu'est-ce que le module et l'argument d'un nombre complexe ?
Tout nombre complexe z = a + bi peut être représenté par un point du plan complexe, de coordonnées (a, b). Le module |z| correspond à la distance de ce point à l'origine. L'argument θ correspond à l'angle formé entre l'axe des réels et le segment reliant l'origine à ce point.
Comment l'utiliser ?
- Renseignez la partie réelle a du nombre complexe z = a + bi.
- Renseignez la partie imaginaire b.
- Lisez le module et l'argument, en radians et en degrés.
Les formules
| Indicateur | Formule |
|---|---|
| Module |z| | √(a² + b²) |
| Argument θ | atan2(b, a) |
| Forme trigonométrique | z = |z| × (cos θ + i sin θ) |
La fonction atan2 (arctangente à deux arguments) détermine automatiquement le bon quadrant de l'angle, ce qu'un simple arctan(b/a) ne peut pas faire seul.
Cas d'usage
- Exercices sur les nombres complexes au lycée et en classes préparatoires.
- Électronique et traitement du signal : représentation des impédances et des signaux sinusoïdaux.
- Passage entre forme algébrique et forme polaire avant une multiplication ou une puissance.
Erreurs fréquentes
- Utiliser arctan(b/a) sans corriger le quadrant : pour a négatif, le résultat est décalé de 180° par rapport à l'angle réel.
- Oublier que le nombre complexe nul n'a pas d'argument défini : le module est 0, mais l'angle n'a pas de sens géométrique dans ce cas.
- Confondre radians et degrés : la plupart des calculs mathématiques utilisent les radians, les applications pratiques préfèrent souvent les degrés.
Compatibilité
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