L'équation x³ − 6x² + 11x − 6 = 0 a trois racines réelles : x = 1, x = 2 et x = 3.
Comment résoudre une équation du troisième degré ?
La méthode de Cardano (XVIe siècle) ramène l'équation ax³ + bx² + cx + d = 0 à une forme « déprimée » sans terme carré, via le changement de variable x = t − b/(3a). Le signe du discriminant Δ détermine le nombre de racines réelles : positif, une seule racine réelle (et deux complexes conjuguées) ; nul, des racines réelles confondues ; négatif, trois racines réelles distinctes (obtenues par une méthode trigonométrique, le fameux « casus irreducibilis »).
Comment l'utiliser ?
- Saisissez les quatre coefficients a, b, c et d.
- Lisez les racines réelles de l'équation.
- Consultez le discriminant pour comprendre leur nombre.
Nombre de racines réelles selon Δ
| Discriminant Δ | Racines réelles |
|---|---|
| Δ > 0 | 1 (+ 2 complexes conjuguées) |
| Δ = 0 | 2 ou 3 (racines confondues) |
| Δ < 0 | 3 racines réelles distinctes |
Le cas Δ < 0, appelé « casus irreducibilis », a historiquement motivé l'introduction des nombres complexes par les mathématiciens italiens du XVIe siècle, alors même que les trois racines trouvées sont réelles.
Cas d'usage
- Exercices de mathématiques en terminale et dans le supérieur.
- Résoudre un polynôme de degré 3 issu d'un problème d'optimisation ou de géométrie.
- Comprendre l'histoire des nombres complexes, nés de ce problème.
Erreurs fréquentes
- Oublier des racines complexes quand Δ > 0 : il n'y a alors qu'une seule racine réelle.
- Confondre discriminant du 2nd degré et du 3e degré, des formules différentes.
- Diviser par a = 0 : l'équation ne serait alors plus du troisième degré.
Compatibilité
Fonctionne sur mobile, tablette et ordinateur, sans inscription, tous les calculs s'exécutant localement dans votre navigateur. Pour une équation du second degré, voyez la calculatrice d'équation du second degré ; pour les nombres complexes, la calculatrice de nombres complexes.