Le théorème le plus célèbre des mathématiques
Dans un triangle rectangle, le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés : a² + b² = c². Énoncé il y a 2 500 ans, appris en classe de 4ᵉ, utilisé chaque jour sur les chantiers et dans les bureaux d'études — le théorème de Pythagore relie l'angle droit à une simple addition de carrés. Cette calculatrice couvre ses trois usages : trouver l'hypoténuse, retrouver un côté manquant, et vérifier qu'un triangle est rectangle (la réciproque).
Comment l'utiliser ?
- Hypoténuse : saisissez les deux côtés de l'angle droit (a et b) → c = √(a² + b²).
- Côté manquant : saisissez l'hypoténuse c et le côté connu a → b = √(c² − a²).
- Vérifier un triangle : saisissez les trois côtés → l'outil compare le carré du plus grand à la somme des deux autres carrés.
Exemples : a = 3 et b = 4 → hypoténuse c = 5 (le triplet le plus connu) ; c = 13 et a = 5 → b = 12. Toutes les longueurs doivent être dans la même unité — le résultat est dans cette unité.
Les triplets pythagoriciens à connaître
| Triplet | Vérification | Usage typique |
|---|---|---|
| 3 – 4 – 5 | 9 + 16 = 25 | L'équerre de chantier universelle |
| 5 – 12 – 13 | 25 + 144 = 169 | Exercices classiques du brevet |
| 8 – 15 – 17 | 64 + 225 = 289 | — |
| 6 – 8 – 10 | 3-4-5 doublé | Grandes équerres (piquets à 6 et 8 m) |
Définition, réciproque et contraposée
Au programme de 4ᵉ (théorème direct) et de 3ᵉ (réciproque), la leçon distingue trois énoncés à ne pas confondre :
- Définition (théorème direct) : si un triangle est rectangle, alors le carré de la longueur de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés. On l'utilise pour calculer une longueur.
- Réciproque : si, dans un triangle, le carré du plus grand côté est égal à la somme des carrés des deux autres, alors ce triangle est rectangle. On l'utilise pour démontrer qu'un triangle est rectangle.
- Contraposée : si le carré du plus grand côté n'est pas égal à la somme des carrés des deux autres, alors le triangle n'est pas rectangle. On l'utilise pour prouver qu'un triangle n'est pas rectangle.
Rédaction d'un exercice (4ᵉ, 3ᵉ)
Pour une bonne rédaction, suivez trois temps : (1) citer le théorème ou sa réciproque (« Dans le triangle ABC rectangle en A… »), (2) écrire l'égalité (« d'après le théorème de Pythagore, BC² = AB² + AC² »), (3) remplacer par les valeurs et conclure. Cet outil sert de correcteur pour vos exercices de théorème de Pythagore et fiches de révision du brevet : entrez vos longueurs pour vérifier le résultat et la nature du triangle avant de rédiger.
Pythagore hors de la classe
- Équerrage d'un mur ou d'une terrasse : marquez 3 m sur un côté, 4 m sur l'autre — si la diagonale fait exactement 5 m, l'angle est droit. C'est la « méthode 3-4-5 » des maçons.
- Diagonale d'une pièce ou d'un meuble : une pièce de 4 × 3 m a une diagonale de 5 m — utile pour savoir si le canapé passera en diagonale.
- Écrans : la diagonale en pouces se déduit de la largeur et de la hauteur (et réciproquement, avec notre convertisseur d'unités pour les pouces).
- Échelles et rampes : hauteur à atteindre + distance au mur → longueur d'échelle nécessaire.
Erreurs fréquentes
- Appliquer le théorème à un triangle quelconque : il n'est valable que si l'angle est droit — c'est tout son sens.
- Additionner les côtés au lieu des carrés : 3 + 4 ≠ 5… mais 3² + 4² = 5². La racine carrée arrive en dernier.
- Confondre côté et hypoténuse : l'hypoténuse est toujours le plus grand côté, face à l'angle droit. En mode « côté manquant », le côté connu doit être plus court qu'elle.
- Mélanger les unités : centimètres avec centimètres, mètres avec mètres.
Compatibilité
Fonctionne sur mobile, tablette et ordinateur, virgules françaises acceptées, calculs locaux. Pour les aires des autres figures, voyez la calculatrice de surface ; pour la trigonométrie complète (sinus, cosinus…), la calculatrice scientifique.