PGCD et PPCM : les deux faces de la divisibilité
Le PGCD est le plus grand nombre qui divise exactement tous les nombres saisis ; le PPCM est le plus petit nombre qu'ils divisent tous. Ces deux notions du programme de troisième servent bien au-delà du brevet : simplifier une fraction (on divise haut et bas par le PGCD), mettre des fractions au même dénominateur (le PPCM), partager équitablement, ou synchroniser des événements périodiques. Cette calculatrice donne les deux d'un coup, avec les étapes de l'algorithme d'Euclide affichées.
Comment l'utiliser ?
- Saisissez vos nombres entiers (deux ou plus), séparés par des espaces ou des virgules :
12 18 24. - Lisez PGCD et PPCM, mis à jour à chaque frappe.
- Suivez les étapes de l'algorithme d'Euclide sous le résultat pour rédiger l'exercice.
Exemple : PGCD(12, 18) — 18 = 12 × 1 + 6, puis 12 = 6 × 2 + 0 → PGCD = 6 ; PPCM = (12 × 18) ÷ 6 = 36.
Les méthodes appliquées
- Algorithme d'Euclide pour le PGCD : divisions successives jusqu'au reste nul — la méthode exigée au collège, plus rapide que la décomposition en facteurs premiers.
- Relation PGCD-PPCM : PPCM(a, b) = (a × b) ÷ PGCD(a, b).
- De proche en proche pour plus de deux nombres : PGCD(a, b, c) = PGCD(PGCD(a, b), c).
Exemples classiques
| Problème | Notion | Réponse |
|---|---|---|
| Simplifier 42/56 | PGCD(42, 56) = 14 | 3/4 |
| Additionner 1/4 + 1/6 | PPCM(4, 6) = 12 | 3/12 + 2/12 = 5/12 |
| Composer des lots identiques avec 120 stylos et 180 crayons | PGCD(120, 180) = 60 | 60 lots (2 stylos + 3 crayons) |
| Deux bus partent toutes les 12 et 18 min ; départ commun ? | PPCM(12, 18) = 36 | Toutes les 36 minutes |
Erreurs fréquentes
- Confondre PGCD et PPCM : le PGCD est toujours ≤ au plus petit des nombres ; le PPCM toujours ≥ au plus grand.
- Multiplier les nombres pour trouver le PPCM : 4 × 6 = 24, mais PPCM(4, 6) = 12. Le produit n'est le PPCM que si les nombres sont premiers entre eux.
- Saisir des décimaux : PGCD et PPCM ne sont définis que pour des entiers — l'outil le signale.
Compatibilité
Fonctionne sur mobile, tablette et ordinateur ; calculs locaux, aucune donnée transmise. La suite logique : la calculatrice de fraction qui utilise le PGCD pour simplifier automatiquement.